Exercice 5, § 6

Soit E l’espace vectoriel des formes quadratiques sur $\mathbf{R}^n$, qui s’identifie au sous-espace vectoriel des matrices carrées symétriques dans l’espace $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$ des matrices carrées d’ordre $n$ sur $\mathbf{R}$. On munit $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$ du produit scalaire $\mathrm{Tr}(X . Y)$, qui permet de l’identifier à son dual, ainsi que E. a) Soit $P \subset E$ l’ensemble des formes quadratiques dont la matrice a tous ses éléments $\geq 0$, et soit $S \subset E$ l’ensemble des formes quadratiques positives dans $\mathbf{R}^n$. Montrer que l’on a $P = P^\circ$ et $S = S^\circ$. b) Soit B l’ensemble des formes quadratiques sur $\mathbf{R}^n$ qui peuvent s’écrire sous la forme $\sum_{j=1}^m x_{j'}^2$ (m quelconque), où $x_j'$ est une forme linéaire qui prend des valeurs $\geq 0$ pour tout $j = 1$ $x = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$ de coordonnées $x_i$ toutes $\geq 0$; soit C l’ensemble des formes quadratiques qui sont $\geq 0$ pour tous les vecteurs $x = (x_i)$ de coordonnées $x_i$ toutes $\geq 0$. Montrer que $B = C^\circ$ et $C = B^\circ$ (prouver que B est fermé, en montrant que tout élément de B a une expression de la forme $\sum_{j=1}^m x_{j'}^2$, avec $x_j'$ positive pour tout $x$ de coordonnées $\geq 0$, et $m \leq 2^n$).