Bài tập 5, § 6

Cho E là không gian vectơ của các dạng toàn phương trên $\mathbf{R}^n$, được đồng nhất với không gian con vectơ của các ma trận vuông đối xứng trong không gian $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$ của các ma trận vuông cấp $n$ trên $\mathbf{R}$. Ta trang bị cho $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$ tích vô hướng $\operatorname{Tr}(X \cdot Y)$, cho phép ta đồng nhất nó với đối ngẫu của nó và tương tự đối với E. a) Cho $P \subset E$ là tập hợp các dạng toàn phương mà ma trận có tất cả các phần tử $\geq 0$, và cho $S \subset E$ là tập hợp các dạng toàn phương dương trong $\mathbf{R}^n$. Chứng minh rằng ta có $P = P^\circ$ và $S = S^\circ$. b) Cho B là tập hợp các dạng toàn phương trên $\mathbf{R}^n$ có thể được viết dưới dạng $\sum_{j=1}^m {x_j'}^2$ với cùng một $m$, trong đó $x_j'$ là một dạng tuyến tính nhận các giá trị $\geq 0$ với mọi $x = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$ có các tọa độ $x_i$ đều $\geq 0$; cho C là tập hợp các dạng toàn phương $\geq 0$ đối với mọi vectơ $x = (x_i)$ có các tọa độ $x_i$ đều $\geq 0$. Chứng minh rằng $B = C^\circ$ và $C = B^\circ$ (chứng minh rằng B đóng, bằng cách chỉ ra rằng mọi phần tử của B có thể được viết dưới dạng $\sum_{j=1}^m {x_j'}^2$, với $x_j'$ dương đối với mọi $x$ có tọa độ $\geq 0$, và $m \leq 2^n$).