Exercice 7, § 6

a) Soient F, G deux espaces vectoriels en dualité séparante, C un cône convexe faiblement fermé dans F, M un sous-espace vectoriel de dimension finie dans G. Montrer que, ou bien il existe $y_0 \in C$ tel que $y_0 \in M^\circ$ et $y_0 \neq 0$, ou bien il existe $z_0 \in M$ tel que $z_0 \in C^\circ$ et $z_0 \neq 0$ (raisonner par récurrence sur la dimension de M). Si C ne contient aucune droite, et si les deux propriétés précédentes sont vérifiées simultanément, montrer que $z_0$ ne peut être point interne de $C^\circ$.

b) Soient $(a_{ij}), (b_{ij})$ deux matrices à termes réels, à $n$ lignes et $m$ colonnes, telles que $a_{ij} > 0$ pour tout couple $(i, j)$. Montrer qu’il existe une valeur de $\lambda \in \mathbf{R}$ et une seule pour laquelle il existe deux vecteurs $x = (x_j) \in \mathbf{R}^m$, $y = (y_i) \in \mathbf{R}^n$ satisfaisant aux relations $x \neq 0$, $y \neq 0$, $x_j \geqslant 0$, $y_i \geqslant 0$ quels que soient $i$ et $j$, et enfin à

(1)

(2)

(En posant $c_{ij} = \lambda a_{ij} - b_{ij}$ pour $1 \leqslant i \leqslant n$, $1 \leqslant j \leqslant m$, et $c_{n+i,j} = \delta_{ij}$ (indice de Kronecker) pour $1 \leqslant i \leqslant m$, montrer que le problème revient à trouver un vecteur $x \in \mathbf{R}^m$ et un vecteur $z = (z_i) \in \mathbf{R}^{n+m}$ non nuls et satisfaisant aux relations

(3)

(4)

et $z_i \geqslant 0$ pour $1 \leqslant i \leqslant n + m$. Remarquer que, si (3) admet une solution pour une valeur $\lambda_0$ de $\lambda$, elle admet aussi une solution pour $\lambda \geqslant \lambda_0$, et que si (4) admet une solution pour $\lambda_0$, elle admet aussi une solution pour $\lambda \leqslant \lambda_0$. Utiliser enfin a).