Bài tập 7, § 6

a) Cho F, G là hai không gian vectơ trong đối ngẫu tách biệt và C là một nón lồi đóng yếu trong F. Cho M là một không gian con vectơ hữu hạn chiều của G. Chứng minh rằng, hoặc tồn tại $y_0 \in C$ sao cho $y_0 \in M^\circ$ và $y_0 \neq 0$, hoặc tồn tại $z_0 \in M$ sao cho $z_0 \in C^\circ$ và $z_0 \neq 0$ (lập luận bằng quy nạp theo chiều của M). Nếu C không chứa đường thẳng nào và nếu hai tính chất trước đó được đồng thời thỏa mãn, chứng minh rằng $z_0$ không thể là một điểm trong của $C^\circ$. b) Cho hai ma trận $(a_{ij}), (b_{ij})$ với các phần tử thực có $n$ hàng và $m$ cột, sao cho $a_{ij} > 0$ với mọi cặp $(i, j)$. Chứng minh rằng tồn tại một giá trị duy nhất của $\lambda \in \mathbf{R}$ sao cho tồn tại hai vectơ $x = (x_j) \in \mathbf{R}^m, y = (y_i) \in \mathbf{R}^n$ thỏa mãn các hệ thức $x \neq 0,\ y \neq 0,\ x_j \geq 0,\ y_i \geq 0$ với mọi $i, j$ và cuối cùng sao cho

(Đặt $c_{ij} = \lambda a_{ij} - b_{ij}$ cho $1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq m$, và $c_{n+i,j} = \delta_{ij}$ (chỉ số Kronecker) cho $1 \leq i \leq m$ chứng minh rằng bài toán quy về việc tìm một vectơ $x \in \mathbf{R}^m$ và một vectơ $z = (z_i) \in \mathbf{R}^{n+m}$ không không và thỏa mãn các hệ thức

(3)

(4) và $z_i \geq 0$ cho $1 \leq i \leq n + m$. Nhận xét rằng, nếu (3) có một nghiệm cho một giá trị $\lambda_0$ của $\lambda$, thì nó cũng có một nghiệm cho $\lambda \geq \lambda_0$, và nếu (4) có một nghiệm cho $\lambda_0$, thì nó cũng có một nghiệm cho $\lambda \leq \lambda_0$. Cuối cùng sử dụng a).