Exercice 8, § 6

Soient T un espace compact, L un sous-espace vectoriel de $\mathscr{C}(T ; \mathbf{R})$ de dimension finie $r$; on munit L de la norme induite par celle de $\mathscr{C}(T ; \mathbf{R})$, et son dual $L^*$ de la norme $\|x'\| = \sup_{\|x\| \leqslant 1} \langle x, x' \rangle$, de sorte que si B est la boule $\|x\| \leqslant 1$ dans L, $B^\circ$ est la boule $\|x'\| \leqslant 1$ dans $L^*$.

a) Pour tout $t \in T$, on désigne par $e'_t$ la forme linéaire $x \mapsto x(t)$ sur L. Montrer que $B^\circ$ est l’enveloppe convexe de l’ensemble des $\pm e'_t$, où $t$ parcourt, T (raisonner par l’absurde en utilisant la prop. 4 de II, p. 41).

En déduire que toute forme linéaire $x' \in L^*$ telle que $\|x'\| = 1$ peut s’écrire $x' = \sum_{i=1}^r \lambda_i e'_{t_i}$, où les $t_i$ sont $r$ points de T et les $\lambda_i$ des nombres réels tels que $\sum_{i=1}^r |\lambda_i| = 1$ (cf. II, p. 70, exerc. 9, a)).

b) Afin que, pour tout $y \in \mathscr{C}(T ; \mathbf{R})$, il existe un seul $x \in L$ tel que $\|y - x\| = d(y, L)$, il faut et il suffit que pour tout $z \in L$ non nul, il existe au plus $r - 1$ points distincts $t_i \in T$ tels que $z(t_i) = 0$ (th. de Haar). (Pour montrer que la condition est suffisante, observer d’abord qu’elle équivaut à dire que pour $r$ points distincts $t_i \in T$ ($1 \leqslant i \leqslant r$), les $e'_{t_i}$ sont linéairement indépendantes dans $L^*$. Raisonner ensuite par l’absurde, en montrant que s’il existe deux points distincts $x', x''$ de L tels que $\|y - x'\| = \|y - x''\| = d(y, L)$, alors il existe $x_0 \in L$ et $z \in L$ tels que, pour tout $\lambda$ réel assez petit, on ait $\|y - (x_0 + \lambda z)\| = d(y, L)$. Appliquer ensuite a) au sous-espace $L \oplus \mathbf{R} y$ de $\mathscr{C}(T ; \mathbf{R})$ et à une forme linéaire convenable sur cet espace s’annulant dans L. Pour voir que la condition est nécessaire, remarquer que si elle n’est pas vérifiée, il existe $r$ points distincts $t_i \in T$ ($1 \leqslant i \leqslant r$) tels que les $e'_{t_i}$ soient linéairement dépendantes et qu’il existe une fonction $z \in L$ non nulle et s’annulant aux points $t_i$. Si $\alpha_i$ ($1 \leqslant i \leqslant r$) sont des nombres non tous nuls tels que $\sum_{i=1}^r \alpha_i e'_{t_i} = 0$, considérer une fonction $w \in \mathscr{C}(T ; \mathbf{R})$ telle que $\|w\| = 1$, $w(t_i) = \operatorname{sgn}(\alpha_i)$ pour $1 \leqslant i \leqslant r$, et la fonction $y = w(1 - |\beta z|)$ avec $|\beta|$ assez petit et $\neq 0$.)

c) On suppose que T soit un intervalle compact dans $\mathbf{R}$ et que L vérifie la condition du th. de Haar; soit $(t_i)_{1 \leqslant i \leqslant r+1}$ une suite strictement croissante de $r + 1$ points de T; il existe alors $r + 1$ nombres réels $\lambda_i$ non nuls tels que $\sum_{i=1}^{r+1} \lambda_i e'_{t_i} = 0$. Montrer que l’on a alors $\operatorname{sgn}(\lambda_i) \operatorname{sgn}(\lambda_{i+1}) = -1$ pour $1 \leqslant i \leqslant r$. (Considérer séparément le cas $r = 1$ et le cas r > 1. Dans le second cas, raisonner par l’absurde en supposant que pour un indice i ≤ r − 1, λ_i soit du même signe que λ_{i−1} ou que λ_{i+1} et que λ_{i−1} et λ_{i+1} soient de signes contraires. Si par exemple λ_i > 0, prendre α_{i−1} > 0, α_{i+1} > 0 tels que α_{i−1}λ_{i−1} + α_{i+1}λ_{i+1} = 0, puis z ∈ L tel que z(t_{i−1}) = α_{i−1}, z(t_{i+1}) = α_{i+1} et z(t_j) = 0 pour j distinct de i − 1, i et i + 1. En déduire que z(t_i) < 0 et montrer que cela contredit l’hypothèse.) d) Les hypothèses et notations étant celles de c), supposons qu’il existe y ∈ C(T ; R) et z ∈ L tels que y(t_i) − z(t_i) = (−1)^iα_i avec α_i > 0 pour 1 ≤ i ≤ r + 1. Montrer que l’on a alors d(y, L) ≥ inf_i α_i. (Utiliser a), appliqué à L ⊕ Ry, et c).) e) Les hypothèses étant celles de c), soient y ∈ C(T ; R), z l’unique point de L tel que l’on ait \|y − z\| = d(y, L). Montrer qu’il existe une suite strictement croissante (t_i)_{1 ≤ i ≤ r+1} dans T telle que l’on ait

avec ε = ± 1. Réciproquement, si z a cette propriété, z est l’unique point de L tel que \|y − z\| = d(y, L). (Utiliser c) et d).) Cas où T est un intervalle de R et où L est l’ensemble des restrictions à T des polynômes de degré < r (th. de Tchebycheff).