Bài tập 8, § 6

Cho T là một không gian compact và L là một không gian con vectơ của $\mathscr{C}(T; \mathbf{R})$, tức là có chiều hữu hạn r; trang bị cho L chuẩn cảm sinh bởi chuẩn của $\mathscr{C}(T; \mathbf{R})$ và trang bị cho đối ngẫu $L^*$ chuẩn $\|x'\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \langle x, x' \rangle$, sao cho nếu B là quả cầu $\|x\| \leq 1$ trong L, thì $B^\circ$ là quả cầu $\|x'\| \leq 1$ trong $L^*$.

a) Với mọi $t \in T$, viết $e'_t$ là dạng tuyến tính $x \mapsto x(t)$ trên L. Chứng minh rằng $B^\circ$ là bao lồi của tập hợp các $\pm e'_t$, trong đó t biến thiên trong T (dùng mệnh đề 4 của II, p. 38 để thu được một mâu thuẫn).

Suy ra rằng mọi dạng tuyến tính $x' \in L^*$ sao cho $\|x'\| = 1$ có thể viết $x' = \sum_{i=1}^r \lambda_i e'_{t_i}$, trong đó $t_i$ là r điểm của T và $\lambda_i$ là các số thực sao cho $\sum_{i=1}^r |\lambda_i| = 1$ (xem II, p. 66, bài tập 9, a)).

b) Với mọi $y \in \mathscr{C}(T; \mathbf{R})$, tồn tại một $x \in L$ duy nhất sao cho $\|y - x\| = d(y, L)$, khi và chỉ khi với mọi $z \in L$ khác không, tồn tại nhiều nhất $r - 1$ điểm phân biệt $t_i \in T$ sao cho $z(t_i) = 0$ (định lý Haar). (Để chứng minh điều kiện này là đủ, trước hết chú ý rằng nó tương đương với việc nói rằng với r điểm phân biệt $t_i \in T$ ($1 \leq i \leq r$), các $e'_{t_i}$ độc lập tuyến tính trong $L^*$. Bây giờ lập luận bằng cách giả sử kết luận là sai và thu được một mâu thuẫn. Nếu tồn tại hai điểm phân biệt $x', x''$ của L sao cho $\|y - x'\| = \|y - x''\| = d(y, L)$ thì tồn tại $x_0 \in L$ và $z \in L$ sao cho, với mọi $\lambda$ thực đủ nhỏ, ta có $\|y - (x_0 + \lambda z)\| = d(y, L)$. Áp dụng phần cuối của a) cho không gian con $L \oplus \mathbf{R}y$ của $\mathscr{C}(T; \mathbf{R})$ và cho một dạng tuyến tính thích hợp trên không gian này triệt tiêu trên L. Để thấy rằng điều kiện là cần thiết, chú ý rằng nếu nó không đúng, thì tồn tại r điểm phân biệt $t_i \in T$ ($1 \leq i \leq r$) sao cho các $e'_{t_i}$ phụ thuộc tuyến tính và tồn tại một hàm $z \in L$ khác không và triệt tiêu tại các điểm $t_i$. Nếu $\alpha_i$ ($1 \leq i \leq r$) là các số không phải tất cả đều bằng không sao cho $\sum_{i=1}^r \alpha_i e'_{t_i} = 0$, xét một hàm $w \in \mathscr{C}(T; \mathbf{R})$ sao cho $\|w\| = 1$, $w(t_i) = \operatorname{sgn}(\alpha_i)$ với $1 \leq i \leq r$, và hàm $y = w(1 - |\beta z|)$ với $|\beta|$ đủ nhỏ và $\neq 0$.)

c) Giả sử rằng T là một khoảng compact trong $\mathbf{R}$ và L thỏa mãn điều kiện của định lý Haar; cho $(t_i)_{1 \leq i \leq r+1}$ là một dãy tăng ngặt gồm $r + 1$ điểm của T; khi đó tồn tại $r + 1$ số thực khác không $\lambda_i$ sao cho $\sum_{i=1}^{r+1} \lambda_i e'_{t_i} = 0$. Chứng minh rằng khi đó $\operatorname{sgn}(\lambda_i) \operatorname{sgn}(\lambda_{i+1}) = -1$ với $1 \leq i \leq r$. (Xét riêng trường hợp $r = 1$ và trường hợp $r > 1$. Trong trường hợp thứ hai, giả sử ngược lại rằng, với một chỉ số nào đó $i \leq r - 1$, số $\lambda_i$ có cùng dấu với $\lambda_{i-1}$ hoặc với $\lambda_{i+1}$ và rằng $\lambda_{i-1}$ và $\lambda_{i+1}$ có dấu đối nhau. Nếu chẳng hạn $\lambda_i > 0$, lấy $\alpha_{i-1} > 0$, $\alpha_{i+1} > 0$ sao cho $\alpha_{i-1} \lambda_{i-1} + \alpha_{i+1} \lambda_{i+1} = 0$, khi đó $z \in L$ sao cho $z(t_{i-1}) = \alpha_{i-1}$, $z(t_{i+1}) = \alpha_{i+1}$ và $z(t_j) = 0$ với j phân biệt với $i - 1$, i và $i + 1$. Suy ra rằng $z(t_i) < 0$ và chứng minh rằng điều này mâu thuẫn với các giả thiết đã cho.)

d) Với cùng các giả thiết và ký hiệu như trong c), giả sử rằng tồn tại $y \in \mathscr{C}(T; \mathbf{R})$ và $z \in L$ sao cho $y(t_i) - z(t_i) = (-1)^i \alpha_i$ với $\alpha_i > 0$ với $1 \leq i \leq r + 1$. Chứng minh rằng khi đó ta có $d(y, L) \geq \inf \alpha_i$. (Áp dụng a) cho $L \oplus \mathbf{R}y$, và c).)

e) Với các giả thiết của c) cho $y \in \mathscr{C}(T; \mathbf{R})$, và z là điểm duy nhất của L sao cho $\|y - z\| = d(y, L)$. Chứng minh rằng tồn tại một dãy tăng ngặt $(t_i)_{1 \leq i \leq r+1}$ trong T sao cho

với $\varepsilon = \pm 1$. Ngược lại, nếu $z$ có tính chất này, thì $z$ là điểm duy nhất của $L$ sao cho $\|y - z\| = d(y, L)$. (Sử dụng c) và d)). Xét trường hợp khi T là một khoảng của $\mathbf{R}$ và khi L là tập hợp các hạn chế lên T của các đa thức có bậc < r (định lý Tchebycheff).