Exercice 11, § 7

a) Dans l’espace $\mathbf{R}^3$, on considère l’ensemble convexe compact A, enveloppe convexe de la réunion du cercle $\zeta = 0, \xi^2 + \eta^2 - 2\xi = 0$ et des deux points (0, 0, 1) et (0, 0, −1). Montrer que l’ensemble des points extrémaux de A n’est pas fermé dans A. b) Soit A un ensemble convexe compact métrisable dans un espace vectoriel topologique séparé E. Montrer que l’ensemble des points extrémaux de A est intersection d’une suite d’ensembles ouverts dans A. (Si d est une distance définissant la topologie de A, considérer pour chaque entier n l’ensemble des points $x = \frac{1}{2}(y + z)$, où y, z sont dans A et $d(y, z) \geq 1/n$.)