Exercice 15, § 7

Soient E un espace normé, A un ensemble compact dans E. a) Montrer que la distance de deux hyperplans d’appui parallèles de A est au plus égale au diamètre $\delta$ de A.

b) Montrer qu’il existe des couples $(a, b)$ de points de $A$ tels que $\|a - b\| = \delta$; pour un tel couple de points, il existe deux hyperplans d’appui parallèles de $A$, passant respectivement par $a$ et $b$, et dont la distance est égale à $\delta$ (considérer la boule fermée de centre $a$ et de rayon $\delta$).