Exercice 16, § 7

a) Dans l’espace $\mathbf{R}^n$, normé par la norme euclidienne, soit $A$ un ensemble convexe compact de dimension $n$; pour tout $z \in S_{n-1}$, on désigne par $\rho(z)$ la borne supérieure de la longueur des segments parallèles au vecteur $z$ et contenus dans $A$. Montrer qu’il existe deux points $u, v$ de $A$ tels que le segment d’extrémités $u, v$ soit parallèle à $z$ et ait pour longueur $\rho(z)$; en déduire qu’il existe deux hyperplans d’appui de $A$, parallèles et passant respectivement par $u$ et $v$ (considérer l’ensemble $A' = A + \rho(z) z$, et séparer les ensembles $A$ et $A'$ par un hyperplan). b) Soit $d$ la borne inférieure de la distance de deux hyperplans d’appui parallèles de $A$; montrer qu’il existe deux points $a, b$ de $A$ tels que $\|a - b\| = d$, et que les hyperplans passant respectivement par $a$ et $b$ et de direction orthogonale à $a - b$, soient des hyperplans d’appui de $A$ (utiliser $a$).