Bài tập 16, § 7

(a) Cho A là một tập hợp lồi compact n-chiều trong không gian $\mathbf{R}^n$, được trang bị chuẩn Euclid; với mỗi $z \in S_{n-1}$, ký hiệu $\rho(z)$ là cận trên của độ dài các đoạn song song với vectơ z và được chứa trong A. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm $u, v$ của A sao cho đoạn có các đầu mút $u, v$ song song với z và có độ dài $\rho(z)$; suy ra rằng tồn tại hai siêu phẳng tựa của A song song và chuyển qua lần lượt $u$ và $v$ (xét tập hợp $A' = A + \rho(z) \, z$, và tách các tập hợp A và $A'$ bởi một siêu phẳng). (b) Gọi d là cận dưới của các khoảng cách giữa hai siêu phẳng tựa song song của A; chứng minh rằng tồn tại hai điểm $a, b$ của A sao cho $\|a - b\| = d$, và các siêu phẳng chuyển qua lần lượt $a$ và $b$ và vuông góc với $a - b$, là các siêu phẳng tựa của A (dùng a)).