Exercice 18, § 7

Dans un espace localement convexe séparé $E$, soit $(K_\alpha)_{\alpha \in I}$ une famille filtrante décroissante d’ensembles convexes compacts non vides. Pour tout $\alpha \in I$, on désigne par $A_\alpha$ l’ensemble des points extrémaux de $K_\alpha$, et on désigne par $F_\alpha$ l’adhérence de la réunion des $A_\beta$ pour $\beta \geq \alpha$, de sorte que $(F_\alpha)$ est une famille filtrante décroissante d’ensembles compacts. Soient $A$ l’intersection (non vide) des $F_\alpha$, $K$ l’intersection (non vide) des $K_\alpha$. Montrer que $K$ est l’enveloppe fermée convexe de $A$. (Si $f$ est une forme linéaire continue sur $E$, $x_\alpha$ un point de $F_\alpha$ où $f$ atteint son maximum dans $F_\alpha$, montrer que $f(y) \leq f(x_\alpha)$ pour tout $y \in K$; prendre ensuite une valeur d’adhérence de la famille $(x_\alpha)$ suivant le filtre des sections de $I$.)