Bài tập 18, § 7

Trong một không gian lồi địa phương Hausdorff E, cho $(K_\alpha)_{\alpha \in I}$ là một họ có hướng giảm gồm các tập hợp lồi compact và khác rỗng. Với mọi $\alpha \in I$, ký hiệu tập hợp các điểm cực biên của $K_\alpha$ là $A_\alpha$, và ký hiệu bởi $F_\alpha$ bao đóng của hợp của các $A_\beta$ với $\beta \geq \alpha$, sao cho $(F_\alpha)$ là một họ có hướng giảm gồm các tập hợp compact. Cho A là giao (khác rỗng) của các $F_\alpha$, và K là giao (khác rỗng) của các $K_\alpha$. Chứng minh rằng K là bao lồi đóng của A. (Nếu f là một dạng tuyến tính liên tục trên E, và $x_\alpha$ là một điểm của $F_\alpha$ tại đó f đạt giá trị lớn nhất của nó trên $F_\alpha$, chứng minh rằng $f(y) \leq f(x_\alpha)$ với mọi $y \in K$; sau đó lấy một điểm tụ của họ $(x_\alpha)$ theo bộ lọc các phần của I.)