Exercice 21, § 7

a) Dans un espace localement convexe séparé $E$, soit $A$ un cône convexe fermé localement compact, ne contenant pas de droite. Montrer que $A$ est un cône à semelle compacte (appliquer la prop. 2 de II, p. 59 au sommet de $A$, qui est point extrémal de $A$). En déduire qu’il existe un hyperplan d’appui fermé $H$ de $A$ contenant le sommet $s$ de $A$ et tel que l’on ait $H \cap A = \{s\}$. b) Soient $A, B$ deux cônes convexes fermés de sommet 0 dans $E$, localement compacts et ne contenant pas de droite. Montrer que si $A \cap B = \{0\}$, $A - B$ est un cône fermé localement compact ne contenant pas de droite (méthode de II, p. 71, exerc. 16). En déduire qu’il existe un hyperplan d’appui fermé $H$ de $A$ et de $B$ à la fois, qui sépare $A$ et $B$ et est tel que l’on ait $H \cap A = H \cap B = \{0\}$. c) Donner un exemple de cône convexe fermé localement compact tel que $A - A$ ne soit pas localement compact ($cf.$ II, p. 83, exerc. 11). d) Soient $A$ un ensemble convexe fermé localement compact dans $E$, ne contenant pas de droite, $x_0$ un point de $A$, $H$ un hyperplan d’appui de $x_0 + C_A$ passant par $x_0$ et tel que l’on ait $(x_0 + C_A) \cap H = \{x_0\}$. Si $f(x) = a$ est une équation de $H$ et si $f(x) \geq a$ dans $x_0 + C_A$, montrer que pour tout nombre réel $b$, l’ensemble des $y \in A$ tels que $f(y) \leq b$ est compact.