Bài tập 21, § 7

(a) Trong một không gian lồi địa phương Hausdorff E, cho A là một nón lồi đóng địa phương compact, không chứa bất kỳ đường thẳng nào. Chứng minh rằng A là một nón có đỉnh compact (áp dụng mệnh đề 2 của II, p. 55, cho đỉnh của A, là một điểm cực biên của A). Suy ra rằng tồn tại một siêu phẳng đỡ đóng H của A, chứa đỉnh s của A và sao cho $H \cap A = \{ s \}$. (b) Cho A, B là hai nón lồi đóng có đỉnh 0 trong E, địa phương compact và không chứa một đường thẳng nào. Chứng minh rằng nếu $A \cap B = \{ 0 \}$, thì $A - B$ là một nón đóng, địa phương compact, không chứa bất kỳ đường thẳng nào (phương pháp như trong II, p. 67, bài tập 16). Suy ra rằng tồn tại một siêu phẳng đóng đỡ cả A và B, tách A khỏi B và sao cho $H \cap A = H \cap B = \{ 0 \}$. (c) Cho một ví dụ về một nón lồi đóng địa phương compact A sao cho $A - A$ không địa phương compact (cf. II, p. 78, bài tập 11). (d) Cho A là một tập lồi đóng địa phương compact trong E, không chứa một đường thẳng nào. Cho $x_0$ là một điểm của A, $C_A$ là nón tiệm cận của A (cf. II, p. 67, bài tập 14) và H là một siêu phẳng đỡ của $x_0 + C_A$ đi qua $x_0$ và sao cho $(x_0 + C_A) \cap H = \{ x_0 \}$. Nếu $f(x) = a$ là phương trình của H và nếu $f(x) \geq a$ trong $x_0 + C_A$, thì chứng minh rằng với mọi số thực b, tập hợp các $y \in A$ sao cho $f(y) \leq b$ là compact.