Exercice 22, § 7

Dans une partie convexe $A$ d’un espace vectoriel $E$, on appelle rayon extrémal toute demi-droite fermée $D$ contenue dans $A$, telle que, pour tout $x \in D$ et tout segment ouvert d’extrémités $a, b$ dans $A$, contenant $x$, on ait nécessairement $a \in D$ et $b \in D$; l’origine de $D$ est alors un point extrémal de $A$.

a) Dans un espace localement convexe séparé $E$, montrer que tout ensemble convexe fermé localement compact ne contenant pas de droite est l’enveloppe fermée convexe de la réunion de ses rayons extrémaux et de ses points extrémaux. (Supposant le contraire, et désignant par $B$ cette enveloppe fermée convexe, noter d’abord qu’en vertu de l’exerc. 21, $d$) , il existe un hyperplan fermé $H$ tel que $H \cap A$ soit compact et non vide, et $H \cap B = \varnothing$. Montrer alors que si $a \in H \cap A$ est point extrémal de $H \cap A$ (donc point non extrémal de $A$ par hypothèse) et si un segment ouvert $S$ d’extrémités $b, c$, contenu dans $A$ et non contenu dans $H$, contient $a$, alors la droite $D$ contenant $S$ contient nécessairement un segment contenant $a$ et dont les extrémités sont des points extrémaux de $A$, ou un rayon extrémal de $A$ contenant $a$.) b) Prouver que si $E$ est de dimension finie, tout ensemble convexe fermé dans $E$ ne contenant aucune droite est l’enveloppe convexe de la réunion de ses points extrémaux et de ses rayons extrémaux (raisonner par récurrence sur la dimension de $E$).