Bài tập 22, § 7

Ta gọi là tia cực biên của một tập lồi A của một không gian vectơ E một nửa đường thẳng đóng D được chứa trong A, sao cho, với mọi $x \in D$ và mọi đoạn mở có các đầu mút $a, b$ trong A, và chứa x, thì tất yếu có $a \in D$ và $b \in D$; đầu mút của D là một điểm cực biên của A. a) Trong một không gian lồi địa phương Hausdorff E, hãy chứng minh rằng mọi tập lồi đóng compact địa phương, không chứa một đường thẳng, là bao lồi đóng của hợp của các tia cực biên và các điểm cực biên của nó. (Giả sử ngược lại, và ký hiệu B là bao lồi đóng này, trước hết chú ý rằng theo bài tập 21, d), tồn tại một siêu phẳng đóng H sao cho $H \cap A$ là compact và khác rỗng và $H \cap B = \varnothing$. Khi đó hãy chứng minh rằng nếu $a \in H \cap A$ là một điểm cực biên của $H \cap A$ (do đó không phải là một điểm cực biên của A theo giả thiết) và nếu đoạn mở S có các đầu mút $b, c$ được chứa trong A và không được chứa trong H, chứa $a$, thì đường thẳng D chứa S tất yếu chứa một đoạn chứa $a$ và có các đầu mút là các điểm cực biên của A, hoặc chứa một tia cực biên của A chứa $a$. b) Hãy chứng minh rằng nếu E là hữu hạn chiều, thì mọi tập lồi đóng trong E, không chứa bất kỳ đường thẳng nào, là bao lồi của hợp các điểm cực biên và các tia cực biên của nó (lập luận bằng quy nạp theo chiều của E).