Exercice 23, § 7

Dans $\mathbf{R}^3$, on considère un ensemble convexe fermé $A$ ayant un point intérieur, dont la frontière $F$ contient deux segments ouverts $S, T$ contenus dans deux droites non parallèles $D, D'$ (les points de $S$ et de $T$ étant donc non extrémaux dans $A$), tous les autres points de $F$ étant extrémaux (on montrera comment définir de tels ensembles convexes). Pour tout $x \in \mathbf{R}^3$, on pose $f(x) = (d(x, D))^2$. Soit $B$ l’ensemble convexe fermé dans $\mathbf{R}^4 = \mathbf{R}^3 \times \mathbf{R}$ formé des couples $(x, \zeta)$ tels que $x \in A$ et $\zeta \geq f(x)$. Montrer que dans $B$ l’ensemble des points extrémaux, la réunion des rayons extrémaux, l’ensemble des extrémités des rayons extrémaux, et toutes les réunions de deux ou trois de ces trois ensembles, sont non fermés et non vides.