Bài tập 23, § 7

Trong $\mathbf{R}^3$, xét một tập lồi đóng A có một điểm trong, mà hàm F chứa hai đoạn mở S, T nằm trên hai đường thẳng không song song D, D' (các điểm của S, T do đó không phải là các điểm cực biên trong A), và tất cả các điểm biên khác của nó đều là cực biên (người ta chỉ ra cách định nghĩa các tập lồi như vậy). Với mọi $x \in \mathbf{R}^3$, đặt $f(x) = (d(x, D))^2$. Gọi B là tập lồi đóng trong $\mathbf{R}^4 = \mathbf{R}^3 \times \mathbf{R}$ được tạo bởi các cặp $(x, \zeta)$ sao cho $x \in A$ và $\zeta \geq f(x)$. Chứng minh rằng trong B, tập hợp các điểm cực biên, hợp của các tia cực biên, tập hợp các điểm mút của các tia cực biên, và tất cả các hợp của hai hoặc ba trong các tập hợp này đều không đóng và không rỗng.