Exercice 29, § 7

a) Soient $(E_n)$ une suite d’espaces localement convexes séparés, $E = \prod E_n$ leur produit, et dans chaque $E_n$, soient $C_n$ un cône convexe de sommet 0 et $A_n$ un chapeau de $C_n$. Montrer qu’il existe un chapeau de $C = \prod_n C_n$ qui contient $\prod_n A_n$ (raisonner comme dans la prop. 5 de II, p. 62). b) Soient $(E_n, \varphi_{nm})$ un système projectif filtrant dénombrable d’espaces localement convexes séparés, $E = \lim_{\leftarrow} E_n$ sa limite projective. Pour tout $n$, soit $C_n$ un cône convexe de sommet 0, tel que $(C_n)$ soit un système projectif d’ensembles. Montrer que si, pour chaque $n$, $C_n$ est réunion de ses chapeaux, il en est de même de $C = \lim_{\leftarrow} C_n$ (utiliser $a$). En particulier, si les $C_n$ sont des cônes à semelle compacte, C est l’enveloppe convexe fermée de la réunion de ses génératrices extrémales.