Bài tập 29, § 7

a) Cho $(E_n)$ là một dãy các không gian lồi địa phương Hausdorff và $E = \prod E_n$ là tích của chúng. Trong mỗi $E_n$, cho $C_n$ là một nón lồi có đỉnh 0 và $A_n$ là một đáy của $C_n$. Chứng minh rằng tồn tại một đáy của $C = \prod C_n$ chứa $\prod A_n$ (lập luận như trong mệnh đề 5 của II, p. 59).

b) Cho $(E_n, \phi_{nm})$ là một hệ xạ ảnh có hướng đếm được của các không gian lồi địa phương Hausdorff và cho $E = \lim_{\leftarrow n} E_n$ là giới hạn xạ ảnh của nó. Với mọi $n$, cho $C_n$ là một nón lồi có đỉnh 0 sao cho $(C_n)$ là một hệ xạ ảnh của các tập hợp. Chứng minh rằng nếu, với mỗi $n$, tập hợp $C_n$ là hợp của các đáy của nó, thì điều này cũng đúng đối với $C = \lim_{\leftarrow n} C_n$ (dùng $a$). Đặc biệt, nếu các $C_n$ là các nón có đáy compact thì $C$ nằm trong bao lồi đóng của hợp các phần tử sinh cực biên của nó.