Exercice 3, § 7

Soit $A$ un ensemble convexe dans un espace vectoriel $E$, et soit $x$ un point de $A$. On appelle facette de $x$ dans $A$ l’ensemble formé de $x$ et des $y \neq x$ dans $A$ tels que la droite passant par $x$ et $y$ contienne un segment ouvert contenu dans $A$ et contenant $x$. Les points internes relativement à la variété linéaire engendrée par $A$ (II, p. 28) (resp. les points extrémaux) de $A$ sont les points dont la facette dans $A$ soit égale à $A$ (resp. réduite à un point). a) Montrer que la facette $F_x$ d’un point $x \in A$ est le plus grand ensemble convexe $B \subset A$ tel que $x$ soit point interne de $B$ (relativement à la variété linéaire engendrée par $B$). b) Pour tout point $y \in F_x$, la facette $F_y$ de $y$ dans $A$ est identique à la facette de $y$ dans $F_x$. Pour que $F_y = F_x$, il faut et il suffit que $y$ soit point interne de $F_x$ (relativement à la variété linéaire engendrée par $F_x$). En déduire que, si $F_x$ est de dimension finie, et si $y$ est un point non interne de $F_x$ (relativement à la variété linéaire engendrée par $F_x$), la dimension de $F_y$ est strictement inférieure à celle de $F_x$. c) On dit qu’une variété linéaire $V$ dans $E$ est une variété d’appui de $A$ si elle rencontre $A$ et si, pour tout $x \in A \cap V$, tout segment ouvert contenu dans $A$ et contenant $x$ est nécessairement contenu dans $V$. Montrer que, pour tout $x \in A$, la variété linéaire $M$ engendrée par la facette $F_x$ de $x$ dans $A$ est la plus petite des variétés d’appui de $A$ contenant $x$, et qu’on a $M \cap A = F_x$. Pour toute variété d’appui $V$ de $A$, $V \cap A$ est la facette dans $A$ de chacun de ses points internes (relativement à la variété linéaire engendrée par $V \cap A$). d) Soient $A$ et $B$ deux ensembles convexes dans $E$. Pour tout point $x \in A \cap B$, la facette de $x$ dans $A \cap B$ est l’intersection des facettes de $x$ dans $A$ et dans $B$. e) On suppose que $E$ est un espace vectoriel topologique séparé, $B$ un ensemble convexe fermé dans $E$, contenant une variété linéaire fermée $M$ de codimension finie $n$ ; alors toute facette dans $B$ d’un point de $B$ contient une variété linéaire fermée de codimension $n$ (II, p. 71, exerc. 14, d)). Si $A$ est un ensemble convexe, pour que la facette dans $A \cap B$ d’un point $x$ de $A \cap B$ soit de dimension finie, il faut et il suffit que la facette de $x$ dans $A$ soit de dimension finie ; en outre, si $p$ et $q$ sont les dimensions de la facette de $x$ dans $A$ et de la facette de $x$ dans

A ∩ B, on a $p \leq q + n$. En particulier si $x \in A \cap B$ est point extrémal de $A \cap B$, sa facette dans A est de dimension $\leq n$. f) Déduire de e) que si A est compact, V une variété linéaire fermée dans E, de codimension finie $n$, tout point extrémal de $V \cap A$ est combinaison linéaire d’au plus $n + 1$ points extrémaux de A.