Bài tập 3, § 7

Cho A là một tập hợp lồi trong một không gian vectơ E, và cho $x$ là một điểm của A. Ta gọi tập hợp được tạo bởi $x$, và các $y \neq x$ trong A sao cho đường thẳng đi qua $x$ và $y$ chứa một đoạn mở, tức là đoạn đó được chứa trong A và chứa $x$, là mặt của $x$ trong A. Các điểm trong tương đối đối với đa tạp tuyến tính sinh bởi A (II, p. 26) (tương ứng các điểm cực biên) của A là các điểm mà mặt của chúng trong A bằng A (tương ứng là một điểm duy nhất). a) Chứng minh rằng mặt $F_x$ của một điểm $x \in A$ là tập hợp lồi lớn nhất $B \subset A$ sao cho $x$ là một điểm trong của B (tương đối với đa tạp tuyến tính sinh bởi B). b) Với mọi điểm $y \in F_x$, mặt $F_y$ của $y$ trong A trùng với mặt của $y$ trong $F_x$. Để có $F_y = F_x$, điều kiện cần và đủ là $y$ là một điểm trong của $F_x$ (tương đối với đa tạp tuyến tính sinh bởi $F_x$). Suy ra rằng, nếu $F_x$ là hữu hạn chiều, và nếu $y$ là một điểm không trong của $F_x$ (tương đối với đa tạp tuyến tính sinh bởi $F_x$), thì chiều của $F_y$ nhỏ hơn nghiêm ngặt chiều của $F_x$. c) Một đa tạp tuyến tính V trong E giao với A và có tính chất là với mọi $x \in A \cap V$, mọi đoạn mở được chứa trong A và chứa $x$, nhất thiết được chứa trong V, được gọi là một đa tạp tựa của A. Chứng minh rằng, với mọi $x \in A$, đa tạp tuyến tính M sinh bởi mặt $F_x$ của $x$ trong A là đa tạp tựa nhỏ nhất của A chứa $x$, và $M \cap A = F_x$. Với mọi đa tạp tựa V của A, giao $V \cap A$ là mặt trong A của mỗi điểm trong của nó (tương đối với đa tạp tuyến tính sinh bởi $V \cap A$). d) Cho A và B là hai tập hợp lồi trong E. Với mọi điểm $x \in A \cap B$, mặt của $x$ trong $A \cap B$ là giao của các mặt của $x$ trong A và trong B. e) Cho B là một tập hợp lồi đóng trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff E, và cho B chứa một đa tạp tuyến tính đóng M có đối chiều hữu hạn $n$; khi đó mọi mặt trong B của một điểm của B chứa một đa tạp tuyến tính đóng có đối chiều $n$ (II, p. 67, exerc. 14, d). Nếu A là một tập hợp lồi thì mặt trong $A \cap B$ của một điểm $x$ trong $A \cap B$ có số chiều hữu hạn khi và chỉ khi mặt của $x$ trong A có số chiều hữu hạn: hơn nữa nếu $p$ và $q$ là chiều của mặt của $x$ trong A và của mặt của $x$ trong $A \cap B$, thì $p \leq q + n$. Đặc biệt nếu $x \in A \cap B$ là một điểm cực biên của $A \cap B$, thì mặt của nó trong A có chiều $\leq n$. f) Suy ra từ e) rằng nếu A là compact, và V là một đa tạp tuyến tính đóng trong E, có đối chiều hữu hạn $n$, thì mọi điểm cực biên của $V \cap A$ là một tổ hợp tuyến tính của nhiều nhất $n + 1$ điểm cực biên của A.