Exercice 33, § 7

Soient E un espace localement convexe séparé, A une partie de E. a) On désigne par $\Gamma_0(A)$ l’ensemble des points $x \in E$ tels que, pour toute application linéaire continue u de E dans un espace vectoriel de dimension finie, $u(x)$ appartienne à l’enveloppe convexe de $u(A)$. Il revient au même de dire que pour toute variété linéaire fermée V de E, contenant x et de codimension finie $n > 0$, il existe une partie de A ayant au plus $n + 1$ éléments, et dont l’enveloppe convexe rencontre V. Montrer que $\Gamma_0(A)$ est un ensemble convexe contenant A, que l’on a $\Gamma_0(\Gamma_0(A)) = \Gamma_0(A)$, et que $\Gamma_0(A)$ est contenu dans l’enveloppe fermée convexe de A (utiliser la prop. 4 de II, p. 41). b) Soient $(x_\alpha)_{\alpha \in I}$ une famille d’éléments de A et $(\lambda_\alpha)_{\alpha \in I}$ une famille de nombres positifs telle que $\sum_{\alpha \in I} \lambda_\alpha = 1$ et que la famille $(\lambda_\alpha x_\alpha)$ soit sommable dans E. Montrer que la somme $s = \sum_{\alpha \in I} \lambda_\alpha x_\alpha$ appartient à $\Gamma_0(A)$. (A l’aide de a), se ramener au cas où E est de dimension finie et identique à la variété linéaire engendrée par les $\lambda_\alpha x_\alpha$; raisonner ensuite par l’absurde, en considérant, pour toute partie finie J de I, un hyperplan fermé $H_J$ passant par s et ne rencontrant pas l’enveloppe convexe de l’ensemble des $x_\alpha$ tels que $\alpha \in J$, puis en utilisant la compacité de la sphère unité dans un espace de dimension finie.) c) Montrer que si A est compact, $\Gamma_0(A)$ est identique à l’enveloppe fermée convexe de A. d) Si K est un ensemble convexe et compact dans E, A l’ensemble de ses points extrémaux, montrer que $K = \Gamma_0(A)$ (utiliser les exerc. 22, b) de II, p. 96 et 32 de II, p. 98). e) Avec les notations de II, p. 79, exerc. 3, soit A l’ensemble formé des $\varepsilon_x$, où x parcourt l’ensemble des nombres rationnels tels que $0 \leq x \leq 1$. Montrer que $\Gamma_0(A)$ est distinct de l’enveloppe convexe de A et de l’enveloppe fermée convexe de A.