Bài tập 33, § 7

Cho $E$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff và $A$ là một tập con của $E$. a) Ký hiệu bởi $\Gamma_0(A)$ tập hợp các điểm $x \in E$ sao cho, với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $u$ của $E$ vào một không gian vectơ hữu hạn chiều, ảnh $u(x)$ thuộc bao lồi của $u(A)$. Điều này tương đương với việc nói rằng với mọi đa tạp tuyến tính đóng $V$ của $E$ chứa $x$ và có đối chiều hữu hạn $n > 0$, tồn tại một tập con của $A$ có nhiều nhất $n + 1$ phần tử, và bao lồi của nó gặp $V$. Chứng minh rằng $\Gamma_0(A)$ là một tập lồi chứa $A$, rằng $\Gamma_0(\Gamma_0(A)) = \Gamma_0(A)$ và rằng $\Gamma_0(A)$ được chứa trong bao lồi đóng của $A$ (dùng mệnh đề 4 của II, p. 38). b) Cho $(x_\alpha)_{\alpha \in I}$ là một họ các phần tử của $A$ và $(\lambda_\alpha)_{\alpha \in I}$ là một họ các số dương sao cho $\sum_{\alpha \in I} \lambda_\alpha = 1$ và họ $(\lambda_\alpha x_\alpha)$ là khả tổng trong $E$. Chứng minh rằng tổng $s = \sum_{\alpha \in I} \lambda_\alpha x_\alpha$ thuộc $\Gamma_0(A)$. (Với sự trợ giúp của $a$), rút gọn về trường hợp $E$ có số chiều hữu hạn và đồng nhất với đa tạp tuyến tính sinh bởi các $\lambda_\alpha x_\alpha$; sau đó lập luận bằng reductio ad absurdum, xét, với mỗi tập con hữu hạn $J$ của $I$, một siêu phẳng đóng $H_J$ đi qua $s$ và không gặp bao lồi của tập hợp các $x_\alpha$ sao cho $\alpha \in J$, rồi sử dụng tính compact của mặt cầu đơn vị trong một không gian hữu hạn chiều.) c) Chứng minh rằng nếu $A$ compact thì $\Gamma_0(A)$ đồng nhất với bao lồi đóng của $A$. d) Nếu $K$ là một tập lồi compact trong $E$, và $A$ là tập hợp các điểm cực biên của nó, chứng minh rằng $K = \Gamma_0(A)$ (dùng bài tập 22, b) của II, p. 90, và bài tập 32). e) Với các ký hiệu của II, p. 74, bài tập 3, cho $A$ là tập hợp tạo bởi các $\varepsilon_x$, trong đó $x$ biến thiên trong tập hợp các số hữu tỉ sao cho $0 \leq x \leq 1$. Chứng minh rằng $\Gamma_0(A)$ phân biệt với bao lồi của $A$ và với bao lồi đóng của $A$.

BÀI TẬP

TVS II.93