Exercice 34, § 7

Soient E un espace localement convexe séparé, S une partie convexe fermée de E, A une partie de S telle que $S = \Gamma_0(A)$ (exerc. 33), $S_0$ l’enveloppe convexe de A (de sorte que $S = \overline{S_0}$). Soient N une partie convexe fermée de E contenant une variété linéaire fermée de codimension finie, $M = S \cap N$ et $M_0 = S_0 \cap N$. a) Montrer que $M = \overline{M_0}$. (Remarquer, en utilisant l’exerc. 33, a), que toute variété linéaire fermée de codimension finie dans E, passant par un point $x \in M$, rencontre $M_0$, et utiliser la prop. 4 de II, p. 41.) b) On suppose que pour toute partie finie F de A, l’intersection de N et de la facette (dans S) de tout point de l’enveloppe convexe de F, soit compacte, ou de dimension finie et ne contenant pas de droite. Montrer alors que M est l’enveloppe fermée convexe de l’ensemble de ses points extrémaux. (A l’aide de a), se ramener à prouver que tout point de $M_0$ est contenu dans l’enveloppe fermée convexe de l’ensemble des points extrémaux de M. Utiliser l’exerc. 3, e) de II, p. 92, le th. de Krein-Milman (II, p. 59) et l’exerc. 22, b) de II, p. 96.) En déduire que tout hyperplan d’appui fermé de M contient un point extrémal de M.