Bài tập 34, § 7

Cho S là một tập lồi đóng của E, một không gian lồi địa phương Hausdorff, và A là một tập con của S sao cho S = Γ_0(A) (Bài tập 33), và cho S_0 là bao lồi của A (sao cho S = S̄_0). Cho N là một tập con lồi đóng của E chứa một đa tạp tuyến tính đóng có đối chiều hữu hạn, M = S ∩ N và M_0 = S_0 ∩ N. a) Chứng minh rằng M = M̄_0. (Chú ý, sử dụng Bài tập 33, a), rằng mọi đa tạp tuyến tính đóng có đối chiều hữu hạn trong E, chứa một điểm x ∈ M, giao với M_0, và sử dụng mệnh đề 4 của II, p. 38.) b) Giả sử rằng với mọi tập con hữu hạn F của A, giao của N và của mặt (trong S) của mỗi điểm của bao lồi của F, là compact hoặc có số chiều hữu hạn và không chứa một đường thẳng. Chứng minh khi đó rằng M là bao lồi đóng của tập hợp các điểm cực biên của nó. (Nhờ a), điều này quy về việc chứng minh rằng mọi điểm của M_0 được chứa trong bao lồi đóng của tập hợp các điểm cực biên của M. Sử dụng Bài tập 3, e) của II, p. 87, định lý Krein-Milman (II, p. 55) và Bài tập 22, b) của II, p. 90.) Suy ra rằng mọi siêu phẳng tựa đóng của M chứa một điểm cực biên của M.