Exercice 35, § 7

Soient I un ensemble non dénombrable, $E = \mathbf{R}^{(l)}$, $E' = E \times \mathbf{R}$, $(e_\alpha)_{\alpha \in I}$ la base canonique de E, s l’élément (0, 1) de $E'$. On définit une dualité séparante entre E et $E'$ caractérisée par $\langle e_\alpha, e_\beta \rangle = \delta_{\alpha \beta}$, $\langle e_\alpha, s \rangle = 1$ pour tout $\alpha \in I$. Soit C le cône pointé $\mathbf{R}_+^{(l)}$ dans E. a) Montrer que sur C les topologies induites par $\sigma(E, E')$ et par la norme $p(x) = \sum_{\alpha \in I} |x_\alpha|$ sur E coïncident. b) Montrer que la structure uniforme induite sur C par $\sigma(E, E')$ n’est pas métrisable.