Exercice 36, § 7

On considère l’espace E = $\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}$, muni de la topologie faible $\sigma(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}, \mathbf{R}^{\mathbf{N}})$; soit C le cône convexe fermé dans E formé des points $x = (x_n)$ tels que $x_n \geqslant 0$ pour tout n. a) Soit $x = (x_n)$ un point de C et soit J l’ensemble fini des entiers n tels que $x_n > 0$; si m est le nombre d’éléments de J, soit A l’ensemble des points $y = (y_n)$ de C tels que $y_n = 0$ pour $n \in J$ et $\sum_{k \in J} y_k x_k^{-1} \leqslant m$. Montrer que A est un chapeau de C contenant x. b) Montrer qu’il n’existe pas de chapeau B dans C tel que C soit la réunion des ensembles $nB$ pour $n > 0$. (Soit p la restriction à C de la jauge de B ; p serait finie dans C et, si $(e_n)$ est la base canonique de E, on aurait $p(e_n) > 0$ pour tout n (II, p. 61, prop. 4), et les points $z^{(n)} = e_n / p(e_n)$ appartiendraient à B ; mais montrer qu’il existe $z' \in \mathbf{R}^{\mathbf{N}}$ tel que la suite $(\langle z^{(n)}, z' \rangle)$ soit non bornée.)