Bài tập 36, § 7

Xét không gian E = R^{(N)}, với tôpô yếu σ(R^{(N)}, R^N); cho C là nón lồi đóng trong E tạo bởi các điểm x = (x_n) sao cho x_n ≥ 0 với mọi n. a) Cho x = (x_n) là một điểm của C và cho J là tập hợp hữu hạn các số nguyên n sao cho x_n > 0; nếu m là số các phần tử của J, thì cho A là tập hợp các điểm y = (y_n) của C sao cho y_n = 0 với n ∈ J và $\sum_{k\in J} y_k x_k^{-1} \leq m$. Chứng minh rằng A là một chóp của C chứa x. b) Chứng minh rằng không tồn tại một chóp B trong C sao cho C là hợp của các tập hợp nB với n > 0. (Gọi p là hạn chế của hàm chuẩn của B lên C; p sẽ hữu hạn trong C và, nếu (e_n) là cơ sở chính tắc của E, ta có p(e_n) > 0 với mọi n (II, p. 58, prop. 4), và các điểm z^{(n)} = e_n/p(e_n) thuộc B; nhưng hãy chứng minh rằng tồn tại z' ∈ R^N sao cho dãy (⟨z^{(n)}, z'⟩) không bị chặn.)