Exercice 37, § 7

Soient F l’espace de Banach $l^1(\mathbf{N})$ des suites sommables $x = (x_n)$ de nombres réels, E l’espace des suites $y = (y_n)$ tendant vers 0 ; on munit F de la topologie faible $\sigma(F, E)$, E et F étant en dualité séparante par la forme $B(x, y) = \sum_{n} x_n y_n$. a) Soit C le cône convexe dans F formé des points $x = (x_n)$ tels que $x_n \geqslant 0$ pour tout n. Montrer que C est fermé dans F. b) Soit A l’ensemble des $x = (x_n) \in C$ tels que $\sum_{n} x_n \leqslant 1$. Montrer que A est un chapeau de C, qui est métrisable pour la topologie induite par celle de F, et que C est réunion des ensembles $nA$ pour $n > 0$. c) Montrer que C n’admet pas de semelle compacte (un tel ensemble S serait l’ensemble des $x = (x_n) \in C$ tels que $\sum_{n} z_n x_n = 1$, où $(z_n) \in E$ et $z_n > 0$ pour tout n. Si $e_m = (\delta_{mn})_{n \geqslant 0}$, les points $z_n^{-1} e_n$ appartiendraient à S, mais ne forment pas un ensemble relativement compact dans F). d) Montrer que C n’est pas métrisable pour la topologie induite par celle de F (utiliser le th. de Baire, en notant qu’il n’existe dans A aucun point intérieur par rapport au sous-espace C).