Bài tập 37, § 7

Cho F là không gian Banach l^1(N) gồm các dãy khả tổng x = (x_n) của các số thực và cho E là không gian các dãy y = (y_n) hội tụ về 0; ta trang bị cho F tôpô yếu σ(F, E), trong đó E và F ở trong đối ngẫu tách được với dạng B(x, y) = ∑ x_n y_n. a) Cho C là nón lồi trong F tạo bởi các điểm x = (x_n) sao cho x_n ≥ 0 với mọi n. Chứng minh rằng C là đóng trong F. b) Cho A là tập hợp các x = (x_n) ∈ C sao cho $\sum^n x_n \leq 1$. Chứng minh rằng A là một mũ của C, rằng A là mêtric hóa được đối với tôpô cảm sinh bởi tôpô của F, và rằng C là hợp của các tập hợp nA với n > 0. c) Chứng minh rằng một mặt đáy của C không compact (một tập hợp như vậy S sẽ là tập hợp các x = (x_n) ∈ C sao cho $\sum^n z_n x_n = 1$, trong đó (z_n) ∈ E và z_n > 0 với mọi n. Nếu e_m = (δ_{mn})_{n≥0}, các điểm $z_n^{-1} e_n$ thuộc S, nhưng không tạo thành một tập hợp tương đối compact trong F). d) Chứng minh rằng C không mêtric hóa được đối với tôpô cảm sinh bởi tôpô của F (sử dụng định lý Baire, nhận xét rằng không có điểm nào trong A là một điểm trong tương đối đối với không gian con C).