Exercice 39, § 7

Soient E un espace localement convexe séparé, H un hyperplan fermé dans E ne contenant pas 0, S un simplexe compact contenu dans H (II, p. 76, exerc. 41). a) Soit C le cône de sommet 0 engendré par S. Montrer que si $(x_i)_{i \in I}$ et $(y_j)_{j \in J}$ sont deux familles finies de points de C telles que $\sum_{i \in I} x_i = \sum_{j \in J} y_j$, il existe une famille finie $(z_{ij})_{(i,j) \in I \times J}$ de points de C telle que $x_i = \sum_{j \in J} z_{ij}$ pour tout $i \in I$ et $y_j = \sum_{i \in I} z_{ij}$ pour tout $j \in J$ (raisonner par récurrence pour se ramener au cas $I = J = \{1, 2\}$). b) Soit $f$ une fonction semi-continue supérieurement et convexe dans S. Montrer que la fonction $\tilde{f}$ (définie dans l’exerc. 38) est une fonction affine. (Se ramener d’abord au cas où $f$ est continue en utilisant l’exerc. 38, b) ainsi que II, p. 86, exerc. 28. Utiliser ensuite le fait que si $f$ est continue, $\tilde{f} = f'$ (exerc. 38, e)), et montrer que $f'$ est convexe en utilisant a) pour majorer $f'(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2)$ lorsque $\alpha_1 \geq 0,\ \alpha_2 \geq 0,\ \alpha_1 + \alpha_2 = 1.$