Bài tập 39, § 7

Cho $H$ là một siêu phẳng đóng trong một không gian lồi địa phương Hausdorff $E$, không chứa 0 và cho $S$ là một simplex compact được chứa trong $H$ (II, p. 71, exerc. 41). a) Cho $C$ là nón có đỉnh 0 sinh bởi $S$. Chứng minh rằng nếu $(x_i)_{i \in I}$ và $(y_j)_{j \in J}$ là hai họ hữu hạn các điểm của $C$ sao cho $\sum x_i = \sum y_j$, thì tồn tại một họ hữu hạn $(z_{ij})_{(i,j) \in I \times J}$ các điểm của $C$ sao cho $x_i = \sum_{j \in J} z_{ij}$ với mọi $i \in I$ và $y_j = \sum_{i \in I} z_{ij}$ với mọi $j \in J$ (lập luận bằng quy nạp để rút gọn về trường hợp $I = J = \{1, 2\}$). b) Cho $f$ là một hàm lồi, nửa liên tục trên trong $S$. Chứng minh rằng hàm $\tilde{f}$ (được định nghĩa trong exerc. 38) là một hàm afin. (Trước hết rút gọn về trường hợp $f$ là liên tục bằng cách sử dụng exerc. 38, b) và II, p. 81, exerc. 28. Tiếp theo sử dụng sự kiện rằng nếu $f$ liên tục, thì $\tilde{f} = f'$ (exerc. 38, e)), và chứng minh rằng $f'$ là lồi bằng cách dùng a) để chặn $f'(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2)$ phía trên khi $\alpha_1 \geq 0, \alpha_2 \geq 0, \alpha_1 + \alpha_2 = 1$.)