Exercice 40, § 7

Soient E un espace localement convexe séparé, X un ensemble convexe compact dans E, $f$ une fonction minorée et semi-continue supérieurement, $g$ une fonction concave, semi-continue inférieurement, et telle que $g \geq f$. Montrer (avec les notations de l’exerc. 38) que l’on a $g \geq \tilde{f}$. (Se ramener au cas où $\inf_{x \in X}(g(x) - f(x)) > 0$. Si $(f_\alpha)$ est une famille filtrante décroissante de fonctions continues telles que $f = \inf(f_\alpha)$, montrer que l’on a aussi $\inf_{x \in X}(g(x) - f_\alpha(x)) \geq 0$ pour $\alpha \geq \alpha_0$, et ramener ainsi le problème au cas où $f$ est continue. Utiliser alors l’exerc. 38, e).)