Bài tập 40, § 7

Cho $X$ là một tập hợp lồi compact trong $E$, một không gian lồi địa phương Hausdorff, và cho $f$ là một hàm nửa liên tục trên bị chặn dưới. Cho $g$ là một hàm lõm nửa liên tục dưới, sao cho $g \geq f$. Chứng minh (với các ký hiệu của Bài tập 38) rằng $g \geq \tilde{f}$. (Rút gọn về trường hợp $\inf_{x \in X} (g(x) - f(x)) > 0$. Nếu $(f_\alpha)$ là một họ có hướng giảm của các hàm liên tục sao cho $f = \inf(f_\alpha)$, hãy chứng minh rằng khi đó cũng có $\inf_{x \in X} (g(x) - f_\alpha(x)) \geq 0$ với $\alpha \geq \alpha_0$, và do đó rút gọn bài toán về trường hợp $f$ liên tục. Sau đó dùng Bài tập 38, e).)