Exercice 5, § 7

Dans l’espace de Banach $l^\infty(\mathbf{N})$ des suites bornées $x = (\xi_n)$ de nombres réels, soit A l’ensemble convexe fermé défini par les inégalités $-1/n \leq \xi_n \leq 1$ pour $n \geq 1$, et $-1 \leq \xi_0 \leq 1$. Montrer que A admet un intérieur non vide, que l’origine est point frontière de A et que la facette de 0 dans A n’est pas fermée. Si on munit A de la topologie induite par celle de l’espace produit $\mathbf{R}^N$, montrer que A est compact mais que la facette de 0 dans A n’est pas fermée dans A.