Bài tập 5, § 7

Trong không gian Banach $l^\infty(\mathbf{N})$ của các dãy bị chặn $x = (\xi_n)$ các số thực, cho A là tập lồi đóng được xác định bởi các bất đẳng thức $-1/n \leq \xi_n \leq 1$ với $n \geq 1$ và $-1 \leq \xi_0 \leq 1$. Chứng minh rằng A có phần trong không rỗng, rằng gốc tọa độ là một điểm biên của A và rằng mặt của 0 trong A không đóng. Nếu ta trang bị cho A tôpô cảm sinh bởi tôpô của không gian tích $\mathbf{R}^N$, hãy chứng minh rằng A là compact nhưng mặt của 0 trong A không đóng trong A.