Exercice 7, § 7

Soient E un espace vectoriel de dimension finie $n$, A un ensemble convexe fermé dans E, dont 0 est point intérieur. a) Soient F et F’ deux facettes duales de A et $A^\circ$ (exerc. 6); si F est de dimension $p$ et F’ de dimension $q$, montrer que $p + q \leq n - 1$. Pour tout point frontière x de A, on appelle ordre de x la dimension de sa facette dans A, classe de x la dimension de sa facette duale dans $A^\circ$. L’ordre (resp. la classe) d’une facette F de A est par définition l’ordre (resp. la classe) d’un des points internes de F relativement à la variété linéaire engendrée par F. Un point extrémal de A est un point d’ordre 0 ; un point de lissité de A (exerc. 6) est un point de classe 0. b) Un point frontière de A de classe $n - 1$ (et par suite d’ordre 0) est appelé une pointe de A. Montrer que l’ensemble des pointes de A est dénombrable (considérer l’ensemble des facettes duales des pointes de A, et appliquer TG, VI, p. 24, exerc. 12). c) Soient F une facette de A, de dimension $p$, M une variété linéaire de dimension $n - p$, rencontrant F en un seul point a, qui est point interne de F, et contenant un point intérieur de A. Montrer que si, dans M, V est un hyperplan d’appui de $M \cap A$ passant par a, l’hyperplan H engendré (dans E) par F $\cup$ V est un hyperplan d’appui de A. d) On dit qu’une facette F de A d’ordre $p$ et de classe $q$ est une ultrafacette si $p + q = n - 1$; la facette duale est alors aussi une ultrafacette de $A^\circ$. Si une variété linéaire M de dimension $n - p$ rencontre une ultrafacette F en un seul point qui est point interne de F (relativement à la variété linéaire engendrée par F), montrer que ce point est une pointe de l’ensemble convexe $M \cap A$, et réciproquement (utiliser c)). En déduire que l’ensemble des ultrafacettes d’ordre $p$ de A est dénombrable. (Identifiant E à $\mathbf{R}^n$, considérer la projection de A sur chacune des variétés coordonnées de $\mathbf{R}^n$ de dimension $p$; si l’ensemble des ultrafacettes d’ordre $p$ dont la projection sur V est de dimension $p$ n’était pas dénombrable, montrer qu’il existerait un point de V qui serait point intérieur d’une infinité non dénombrable de ces projections, en considérant les points de V à coordonnées rationnelles ; utiliser ensuite b).) Donner un exemple d’ensemble convexe ayant une infinité non dénombrable de facettes non réduites à un point et qui ne sont pas des ultrafacettes. e) Si tous les points frontière de A sont des points de lissité, montrer que l’application qui, à tout point x de la frontière G de A, fait correspondre l’unique point de la facette duale de x, est une application continue de G sur la frontière de A° (cf. TG, I, p. 60, corollaire). Dans quel cas cette application est-elle bijective ?