Bài tập 7, § 7

Cho $E$ là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn $n$ và $A$ là một tập hợp lồi đóng trong $E$ mà $0$ là một điểm trong. a) Cho $F$ và $F'$ là hai diện đối ngẫu của $A$ và $A^\circ$ (bài tập 6); nếu $F$ có chiều $p$ và $F'$ có chiều $q$, hãy chứng minh rằng $p + q \leq n - 1$. Với mỗi điểm biên $x$ của $A$, chiều của diện của $x$ trong $A$ được gọi là cấp của $x$, và chiều của diện đối ngẫu của nó trong $A^\circ$ được gọi là lớp của $x$. Cấp (tương ứng, lớp) của một diện $F$ của $A$ theo định nghĩa là cấp (tương ứng, lớp) của một trong các điểm trong của $F$ đối với đa tạp tuyến tính sinh bởi $F$. Một điểm cực trị của $A$ là một điểm có cấp $0$; một điểm trơn của $A$ (bài tập 6) là một điểm có lớp $0$. b) Một điểm biên của $A$ có lớp $n - 1$ (và do đó có cấp $0$) được gọi là một đỉnh của $A$. Chứng minh rằng tập hợp các đỉnh của $A$ là đếm được (xét tập hợp các diện đối ngẫu của các đỉnh của $A$, GT, VI, § 2, bài tập 12). c) Cho $F$ là một diện $p$-chiều của $A$, và $M$ là một đa tạp tuyến tính có chiều $n - p$, giao với $F$ tại duy nhất điểm $a$, sao cho $a$ là một điểm trong của $F$ và chứa một điểm trong của $A$. Chứng minh rằng, nếu $V$ là một siêu phẳng tựa của $M \cap A$ trong $M$, đi qua $a$, thì siêu phẳng $H$ sinh (trong $E$) bởi $F \cup V$ là một siêu phẳng tựa của $A$. d) Ta nói rằng một diện $F$ của $A$ có cấp $p$ và lớp $q$ là một diện siêu nếu $p + q = n - 1$; khi đó diện đối ngẫu cũng là một diện siêu của $A^\circ$. Nếu một đa tạp tuyến tính $M$ có chiều $n - p$ giao với một diện siêu $F$ tại một điểm duy nhất là điểm trong của $F$ (đối với đa tạp tuyến tính sinh bởi $F$), hãy chứng minh rằng điểm này là một đỉnh của tập hợp lồi $M \cap A$, và ngược lại (dùng c)). Suy ra rằng tập hợp các diện siêu có cấp $p$ của $A$ là đếm được. (Đồng nhất $E$ với $\mathbf{R}^n$, xét phép chiếu của $A$ lên mỗi đa tạp tọa độ của $\mathbf{R}^n$ có chiều $p$; nếu tập hợp các diện siêu có cấp $p$ mà phép chiếu lên $V$ là $p$-chiều không đếm được, hãy chứng minh rằng tồn tại một điểm của $V$ là điểm trong của một vô hạn không đếm được các phép chiếu này bằng cách xét các điểm của $V$ có tọa độ hữu tỉ; sau đó dùng b).) Cho một ví dụ về một tập hợp lồi có một vô hạn không đếm được các diện, mỗi diện trong đó không phải là một điểm duy nhất cũng không phải là một diện siêu. e) Nếu mọi điểm biên của $A$ đều trơn, hãy chứng minh rằng ánh xạ, đặt mỗi điểm $x$ của biên $G$ của $A$ tương ứng với điểm duy nhất của diện đối ngẫu của $x$, là một ánh xạ liên tục của $G$ lên biên của $A^\circ$ (xem TG, I, § 9.1, hệ quả). Trong trường hợp nào ánh xạ này là song ánh?