Exercice 1, § 2

Soient E un espace localement convexe, $\mathscr{T}$ sa topologie. Parmi les topologies localement convexes sur E pour lesquelles les parties bornées soient les mêmes que pour $\mathscr{T}$, il y en a une $\mathscr{T}'$ plus fine que toutes les autres, et c’est la seule parmi ces topologies qui soit bornologique. L’espace obtenu en munissant E de $\mathscr{T}'$ est appelé l’espace bornologique associé à E. Pour qu’une application linéaire $u$ de E dans un espace localement convexe F transforme toute partie bornée de E en une partie bornée de F, il faut et il suffit qu’elle soit continue pour la topologie $\mathscr{T}'$. Montrer que la topologie $\mathscr{T}'$ est la plus fine des topologies localement convexes sur E rendant continues les injections canoniques $E_A \to E$, où A parcourt l’ensemble des parties convexes, bornées et équilibrées de E.