Bài tập 1, § 2

Cho E là một không gian lồi địa phương, và $\mathscr{T}$ là tôpô của nó. Trong số các tôpô lồi địa phương trên E mà các tập hợp bị chặn trùng với các tập hợp bị chặn đối với $\mathscr{T}$, có một tôpô $\mathscr{T}'$ mịn hơn tất cả các tôpô khác, và đây là tôpô duy nhất trong số các tôpô này là bornological. Không gian thu được bằng cách trang bị E với $\mathscr{T}'$ được gọi là không gian bornological liên kết với E. Một ánh xạ tuyến tính $u$ từ E vào một không gian lồi địa phương F biến mọi tập con bị chặn của E thành một tập con bị chặn của F khi và chỉ khi nó liên tục đối với tôpô $\mathscr{T}'$. Chứng minh rằng tôpô $\mathscr{T}'$ là tôpô mịn nhất trong số các tôpô lồi địa phương trên E mà đối với chúng các đơn ánh chính tắc $E_A \to E$, trong đó A chạy qua họ các tập con lồi, bị chặn và cân bằng của E, là liên tục.