Exercice 2, § 2

Soient I un ensemble infini, $(E_i)_{i\in I}$ une famille d’espaces localement convexes non réduits à 0. a) On suppose que chacun des espaces $E_i$ est bornologique. Montrer que si, en outre, l’espace produit $\mathbf{R}^I$ est bornologique, le produit $E = \prod_{i\in I} E_i$ est bornologique. (En utilisant III, p. 11, prop. 1, (iii), et p. 40, exerc. 13, se ramener à prouver ce qui suit : une application linéaire $f$ de $E$ dans un espace de Banach, transformant tout ensemble borné en un ensemble borné, et dont la restriction à chacun des $E_i$ est nulle, est nécessairement nulle dans $E$. Pour cela, considérer, pour tout $x = (x_i) \in E$, la restriction de $f$ au produit des droites $\mathbf{R} x_i.$) b) Déduire de $a$ que tout produit d’une suite $(E_n)$ d’espaces bornologiques est bornologique.