Bài tập 2, § 2

Cho I là một tập vô hạn và $(E_i)_{i \in I}$ là một họ các không gian lồi địa phương, không gian nào trong số đó cũng khác 0. a) Giả sử rằng mỗi không gian $E_i$ là bornological. Chứng minh rằng nếu, ngoài ra, không gian tích $\mathbf{R}^I$ là bornological, thì tích $E = \prod_{i \in I} E_i$ là bornological (sử dụng III, p. 11, mệnh đề 1 (iii)) và p. 39, bài tập 15, rút gọn về việc chứng minh điều sau: một ánh xạ tuyến tính $f$ từ $E$ vào một không gian Banach, biến mọi tập bị chặn thành một tập bị chặn, và có hạn chế trên mỗi $E_i$ bằng không, thì nhất thiết bằng không trên $E$. Về điều này, với mọi $x = (x_i) \in E$, hãy xét hạn chế của $f$ lên tích của các đường thẳng $\mathbf{R} x_i$. b) Suy ra từ a) rằng mọi tích của một dãy ($E_n$) các không gian bornological là bornological.