Exercice 10, § 3

Soient E un espace vectoriel topologique qui est un espace de Baire, F un espace vectoriel topologique. a) Montrer que, si une partie H de $\mathscr{L}(E ; F)$ est bornée pour la topologie de la convergence simple, H est équicontinue (pour tout voisinage fermé V de 0 dans F, considérer les ensembles $M_n = \bigcap_{u \in H} u^{-1}(nV)$). b) Montrer que, si une partie H de $\mathscr{L}(E ; F)$ n’est pas équicontinue, l’ensemble des $x \in E$ tels que $H(x)$ ne soit pas borné dans F est le complémentaire d’un ensemble maigre. En déduire que, si $(H_n)$ est une suite de parties de $\mathscr{L}(E ; F)$ qui ne sont pas équicontinues, il existe un $x \in E$ tel qu’aucun des ensembles $H_n(x)$ ne soit borné dans F (principe de condensation des singularités).