Bài tập 10, § 3

Cho $E$ là một không gian vectơ tôpô, là một không gian Baire, và $F$ là một không gian vectơ tôpô. a) Chứng minh rằng, nếu một tập con $H$ của $\mathscr{L}(E; F)$ bị chặn đối với tôpô hội tụ đơn giản, thì $H$ là liên tục đều (đối với mọi lân cận đóng $V$ của 0 trong $F$, xét các tập hợp $M_n = \bigcap_{u \in H} u^{-1}(nV)$). b) Chứng minh rằng, nếu một tập con $H$ của $\mathscr{L}(E, F)$ không liên tục đều, tập hợp tất cả các $x \in E$ sao cho $H(x)$ không bị chặn trong $F$ là phần bù của một tập hợp loại thứ nhất. Suy ra từ điều này rằng, nếu $(H_n)$ là một dãy các tập con của $\mathscr{L}(E; F)$ không liên tục đều, thì tồn tại một $x \in E$ sao cho không một tập hợp nào trong các tập $H_n(x)$ bị chặn trong $F$ (nguyên lý ngưng tụ các điểm kỳ dị).