Exercice 6, § 3

Soient $(E_i)_{i \in I}$ une famille d’espaces localement convexes séparés, non réduits à 0, E l’espace produit $\prod_{i \in I} E_i$, F un espace normé. Montrer qu’il existe un isomorphisme canonique de l’espace $\mathscr{L}(E ; F)$ muni de la topologie de la convergence bornée (resp. de la convergence simple, resp. de la convergence précompacte) sur l’espace somme directe topologique des espaces $\mathscr{L}(E_i ; F)$, lorsque chacun de ces espaces est muni de la topologie de la convergence bornée (resp. de la convergence simple, resp. de la convergence précompacte). (Remarquer que, si $u$ est une application linéaire continue de E dans F, il existe une partie finie H de I telle que $u^{-1}(0)$ contienne le produit des $E_i$ d’indices $i \notin H$.)