Bài tập 6, § 3

Cho $(E_i)_{i \in I}$ là một họ các không gian lồi địa phương Hausdorff, không gian nào trong số đó cũng khác 0, cho $E$ là không gian tích $\prod_{i \in I} E_i$ và $F$ là một không gian định chuẩn. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một đẳng cấu chính tắc từ không gian $\mathscr{L}(E; F)$ với tôpô hội tụ bị chặn (tương ứng, với tôpô hội tụ đơn giản, tương ứng, với tôpô hội tụ tiền compact) lên không gian tổng trực tiếp tôpô của các không gian $\mathscr{L}(E_i; F)$, trong đó mỗi không gian này được trang bị tôpô hội tụ bị chặn (tương ứng, tôpô hội tụ đơn giản, tương ứng, tôpô hội tụ tiền compact). (Nhận xét rằng nếu $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $E$ vào $F$, thì tồn tại một tập con hữu hạn $H$ của $I$ sao cho $u^{-1}(0)$ chứa tích của các $E_i$ với mọi chỉ số $i \notin H$.)