Exercice 9, § 4

Soit I un ensemble infini non dénombrable ; sur l’espace vectoriel somme directe $E = \mathbf{R}^{(I)}$, on considère, d’une part la topologie localement convexe la plus fine $\mathscr{T}$, d’autre part la topologie $\mathscr{T}_0$ définie dans I, p. 24, exerc. 14, qui est localement convexe ; on sait que $\mathscr{T}$ et $\mathscr{T}_0$ sont distinctes (II, p. 80, exerc. 11) et que E, muni de $\mathscr{T}_0$, est complet (TG, III, p. 73, exerc. 10). Montrer que dans E, les ensembles bornés sont les mêmes pour $\mathscr{T}$ et $\mathscr{T}_0$ (III, p. 40, exerc. 10) et que E, muni de $\mathscr{T}_0$, n’est pas tonnelé (noter que l’ensemble T des $x = (\xi_i) \in E$ tels que $\sum_{i \in I} |\xi_i| \leq 1$ est un tonneau et utiliser l’exerc. 11 de II, p. 80).