Exercice 12, § 5

Soient E, F deux espaces vectoriels topologiques et soit $f$ l’application bilinéaire $(x, u) \mapsto u(x)$ de $E \times \mathscr{L}(E; F)$ dans F ; soit $\mathscr{T}$ une topologie compatible avec la structure d’espace vectoriel de $\mathscr{L}(E; F)$ et plus fine que la topologie de la convergence simple. Soient $\mathscr{S}$ un ensemble de parties bornées de E, $\mathscr{U}$ un ensemble de parties bornées de $\mathscr{L}(E; F)$ (pour la topologie $\mathscr{T}$). Montrer que, pour que $f$ soit $\mathscr{S}\text{-hypocontinue}$, il faut et il suffit que $\mathscr{T}$ soit plus fine que la $\mathscr{S}\text{-topologie}$; pour que $f$ soit $\mathscr{U}\text{-hypocontinue}$, il faut et il suffit que les ensembles de $\mathscr{U}$ soient des parties équicontinues de $\mathscr{L}(E; F)$.