Bài tập 12, § 5

Cho E, F là hai không gian vectơ tôpô, và cho f là ánh xạ song tuyến tính (x, u) ↦ u(x) từ E × L(E ; F) vào F; cho T là một tôpô tương thích với cấu trúc không gian vectơ của L(E ; F) và mịn hơn tôpô hội tụ đơn giản. Cho S là một họ các tập hợp bị chặn của E, U là một họ các tập hợp bị chặn của L(E ; F) (đối với tôpô T). Chứng minh rằng f là S-nửa liên tục khi và chỉ khi T mịn hơn tôpô S; f là U-nửa liên tục khi và chỉ khi các tập hợp của U là các tập hợp liên tục đều của L(E ; F).